Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}\\\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{x}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{y}\end{cases}}\) (*)

Ta có: \(A=\frac{x+y}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}\)

\(=\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\)

\(=\left(\frac{x}{z}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{y}{x}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\right)\)

\(=x\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}\right)+y\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)+z\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Thay (*) vào,ta có : \(A=x.\left(\frac{-1}{x}\right)+y.\left(-\frac{1}{y}\right)+z.\left(-\frac{1}{z}\right)=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-3\)

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}\)

      \(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{y}\)

      \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{x}\)

\(A=\frac{x+y}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}=\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\)

\(=\left(\frac{y}{z}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{z}{x}\right)\)

\(=y\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)+x\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}\right)+z\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)\)

\(=y.\frac{-1}{y}+x.\frac{-1}{x}+z.\frac{-1}{z}=-1-1-1=-3\)

Vậy nên A = -3

Bài  \(1a.\)  Tìm  \(x,y,z\)  biết \(x^2+4y^2=2xy+1\)   \(\left(1\right)\)  và  \(z^2=2xy-1\)  \(\left(2\right)\)

Cộng  \(\left(1\right)\)  và  \(\left(2\right)\)  vế theo vế, ta được:

\(x^2+4y^2+z^2=4xy\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^2-4xy+4y^2+z^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(x-2y\right)^2+z^2=0\)

Do  \(\left(x-2y\right)^2\ge0\)  và  \(z^2\ge0\)  với mọi  \(x,y,z\)

nên để thỏa mãn đẳng thức trên thì phải đồng thời xảy ra  \(\left(x-2y\right)^2=0\)  và  \(z^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(^{x-2y=0}_{z^2=0}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(^{x=2y}_{z=0}\)

Từ  \(\left(2\right)\), với chú ý rằng  \(x=2y\)  và  \(z=0\), ta suy ra:

\(2xy-1=0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(2.\left(2y\right).y-1=0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(4y^2-1=0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(y^2=\frac{1}{4}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(y=\frac{1}{2}\)  hoặc  \(y=-\frac{1}{2}\)

\(\text{*)}\)  Với  \(y=\frac{1}{2}\) kết hợp với \(z=0\) \(\left(cmt\right)\)  thì  \(\left(2\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(2.x.\frac{1}{2}-1=0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=1\)

\(\text{*)}\)  Tương tự với trường hợp  \(y=-\frac{1}{2}\), ta cũng dễ dàng suy ra được \(x=-1\)

Vậy, các cặp số  \(x,y,z\)  cần tìm là  \(\left(x;y;z\right)=\left\{\left(1;\frac{1}{2};0\right),\left(-1;-\frac{1}{2};0\right)\right\}\)

\(b.\)  Vì  \(x+y+z=1\)  nên  \(\left(x+y+z\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)=1\)  \(\left(3\right)\)

Mặt khác, ta lại có  \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)  \(\Rightarrow\)  \(xy+yz+xz=0\)  \(\left(4\right)\) (do  \(xyz\ne0\))

Do đó,  từ  \(\left(3\right)\) và \(\left(4\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(x^2+y^2+z^2=1\)

Vậy,  \(B=1\)

1a) x=1, y=1/2, z=0

Ta có:

\(A=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{x^2+y^2}{\left(xy\right)^2}=\frac{x^2+y^2}{\left(x+y\right)^2}\)  (do  \(x+y=xy\))  \(\left(5\right)\)

Dễ dàng chứng minh được với mọi  \(x,y\in R\), ta luôn có:

\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\)  \(\left(\text{*}\right)\)

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số  \(\left(1^2+1^2\right)\)  và  \(\left(x^2+y^2\right)\), ta được:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(1.x+1.y\right)^2=\left(x+y\right)^2\)

Do đó,  \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\), hay  \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\)  \(\left(đpcm\right)\)

Vậy, bất đẳng thức \(\left(\text{*}\right)\)  hiển nhiên đúng với mọi  \(x,y\in R\), tức bđt  \(\left(\text{*}\right)\)  được chứng minh.

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y\)  

Khi đó,  từ  \(\left(\text{*}\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}\)  (do  hai vế của bđt  \(\left(\text{*}\right)\)  cùng dấu  \(\left(+\right)\))

nên  \(\frac{x^2+y^2}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{x^2+y^2}{2\left(x^2+y^2\right)}=\frac{1}{2}\)  (vì  \(x^2+y^2>0\)  với mọi  \(x,y\in R\) và  \(x,y\ne0\))  \(\left(6\right)\)

\(\left(5\right);\)  \(\left(6\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(A\ge\frac{1}{2}\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(^{x+y=xy}_{x=y}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=2\)

Vậy,  GTNN của  \(A=\frac{1}{2}\)

\(a.\)

Phân tích biển đổi thành nhân tử kết hợp với chuyển vế để quy về hẳng đẳng thức, khi đó, ta tính được  \(a,b\)

Thật vậy, ta có:

\(a^2-2a+6b+b^2=-10\)

\(\Leftrightarrow\)  \(a^2-2a+6b+b^2+10=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2+6b+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(a-1\right)^2+\left(b+3\right)^2=0\)   \(\left(1\right)\)

Vì  \(\left(a-1\right)^2\ge0;\)  \(\left(b+3\right)^2\ge0\)  với mọi  \(a,b\)

nên để thỏa mãn đẳng thức \(\left(1\right)\)  thì phải xảy ra đồng thời  \(\left(a-1\right)^2=0\)  và  \(\left(b+3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(a-1=0\)  và  \(b+3=0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(a=1\)  và  \(b=-3\)

\(b.\)  Cộng  \(1\) vào mỗi phân thức của biểu thức  \(A\), khi đó, ta có:

\(A+3=\left(\frac{x+y}{z}+1\right)+\left(\frac{x+z}{y}+1\right)+\left(\frac{y+z}{x}+1\right)=\frac{x+y+z}{z}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{x}\)

\(A+3=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=0\)  (do  \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\))

Vậy,  \(A=-3\)

Viết rõ hơn được không bạn

\(a^2-2b+6b+b^2=-10\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+6b+b^2+10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2+6b+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b+3\right)^2=0\left(1\right)\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\\\left(b+3\right)^2\ge0\forall b\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b+3\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=1\\b=-3\end{cases}}}\)

\(L=\frac{x+y}{z}+1+\frac{y+z}{x}+1+\frac{x+z}{y}+1-3\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-3=0-3=-3\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{x+y-2014z}{z}=\frac{y+z-2014x}{x}=\frac{z+x-2014y}{y}=\frac{\left(-2012\right)\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=-2012\)

Ta có: \(\frac{x+y-2014z}{z}=-2012\Rightarrow x+y-2014z=-2012z\Leftrightarrow x+y=2z\)

Tương tự: \(y+z=2x,z+x=2y\)

Khi đó:  \(A=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}=\frac{2x.2y.2z}{xyz}=8\)

Vậy A=8.

Nguyễn Tất Đạt thiếu 1 trường hợp nha bạn

\(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-y-z\\y=-x-z\\z=-x-y\end{cases}}\)

\(A=\left(1+\frac{-y-z}{y}\right).\left(1+\frac{-x-z}{z}\right).\left(1+\frac{-x-y}{x}\right)\)

\(A=\left(-\frac{z}{y}\right).\left(\frac{-x}{z}\right).\left(\frac{-y}{x}\right)=-1\)

\(\dfrac{y+z-x}{x}=\dfrac{z+x-y}{y}=\dfrac{x+y-z}{z}\\ \Rightarrow\dfrac{y+z-x}{x}+2=\dfrac{z+x-y}{y}+2=\dfrac{x+y-z}{z}+2\\ \Rightarrow\dfrac{x+y+z}{x}=\dfrac{x+y+z}{y}=\dfrac{x+y+z}{z}\\ \Rightarrow x=y=z\\ \Rightarrow A=\left(1+1\right).\left(1+1\right).\left(1+1\right)=8\)